Fonctions logarithme
La fonction $\exp:\mathbb C\to\mathbb C^*$ est surjective. Pour tout nombre complexe non nul $z,$ on appelle logarithme de $z$ tout nombre complexe $w$ tel que $e^z=w.$ On montre facilement qu'on a alors $\Re e(w)=\ln|z|$ et que si $w'\in \mathbb C,$ $w'$ est un logarithme de $z$ si et seulement si $w-w'\in 2\pi\mathbb Z.$
La situation devient plus difficile quand on essaie de définir une fonction logarithme sur $\mathbb C^*,$ comme on définit la fonction logarithme népérien sur $]0,+\infty[.$ On démontre qu'il n'existe pas de fonction continue $f:\mathbb C^*\to\mathbb C$ telle que $\exp(f(z))=z$ pour tout $z\in\mathbb C^*.$ Ceci est d'ailleurs vrai si on remplace $\mathbb C^*$ par n'importe quel ouvert $U$ contenant un cercle centré en $O.$
On peut toutefois définir une fonction logarithme régulière sur $\mathbb C\backslash ]-\infty,0]$ : on appelle détermination principale du logarithme la fonction $\log:\mathbb C\backslash]-\infty,0]\to\mathbb C$ définie par $$\log(z)=\ln|z|+i\textrm{arg}(z)$$ où $\arg(z)$ est l'argument principal de $z$, compris entre $-\pi$ et $\pi.$ La fonction $\log$ est holomorphe sur $\mathbb C\backslash]-\infty,0]$ et vérifie $\exp(\log(z))=z,$ $(\log)'(z)=\frac 1z$ pour tout $z\in\mathbb C\backslash]-\infty,0].$ Elle coïncide avec la fonction logarithme népérien sur $]0,+\infty[$. Cependant, elle ne vérifie pas toutes les propriétés de cette fonction : par exemple, on peut trouver $z_1,z_2$ tels que $$\log(z_1z_2)\neq \log(z_1)\log(z_2)$$ et même $\log(z_1z_2)$ peut ne pas être défini alors que $\log(z_1)$ et $\log(z_2)$ le sont.
Le nom de détermination principale suggère qu'on peut définir une fonction logarithme sur d'autres types d'ouverts. C'est effectivement le cas. Si $U$ est un ouvert étoilé de $\mathbb C^*$, ou plus généralement si $U$ est un ouvert simplement connexe de $\mathbb C^*,$ il existe une fonction holomorphe $f:U\to\mathbb C$ vérifiant $\exp(f(z))=z$ pour tout $z\in U.$ On appelle $f$ une détermination du logarithme dans $U$. La fonction $f$ n'est pas unique, mais si $f_1$ et $f_2$ sont deux déterminations du logarithme dans $U,$ alors il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $f_1=f_2+2k\pi.$
La définition précédente se généralise au logarithme d'une fonction :