Fonction localement lipschitzienne

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb R$. On dit que $f$ est localement lipschitzienne si, pour tout $x$ de $I$, il existe un intervalle $]a,b[$ contenant $x$, et un réel $K\geq 0$, tel que, pour tous $u,v$ de $]a,b[\cap I$, $$|f(u)-f(v)|\leq K|u-v|.$$

Plus généralement, si $f$ est définie sur une partie $A$ de $\mathbb R^n$, ou d'un espace vectoriel normé, ou d'un espace métrique, $f$ est localement lipschitzienne si, pour tout $x\in A$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ tel que la restriction de $f$ à $V_x\cap A$ est lipschitzienne. Par exemple, toute fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle est localement lipschitzienne.

Remarquons que les fonctions localement lipschitziennes sont automatiquement continues. Ces fonctions interviennent notamment dans l'énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz, plus précisément sous la forme suivante. Soit $E_1, E_2$ et $E_3$ trois espaces vectoriels normés, $\Omega$ un ouvert de $E_1\times E_2,$ et $f:\Omega\to E_3.$ On dit que $f$ est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable si, pour tout $(t_0,x_0)\in\Omega,$ il existe un voisinage $U\subset \Omega$ de $(t_0,x_0)$ et une constante $C>0$ tels que, pour tous $(t,x_1)$ et $(t,x_2)\in U,$ on a $$\|f(t,x_1)-f(t,x_2)\|\leq C\|x_1-x_2\|.$$

On dispose aussi du théorème suivant, qui identifie fonction lipschitzienne et fonction localement lipschitzienne.