$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Anneau local

Un anneau $A$ est dit local s'il est commutatif, et s'il admet un unique idéal maximal. Le quotient d'un anneau local $A$ par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de $A.$

Exemples :

  • pour tout nombre premier $p$ et tout entier $n\geq 1,$ l'anneau $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ est local, d'idéal maximal l'ensemble des classes des multiples de $p.$
  • plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local (et l'idéal maximal est aussi l'unique idéal premier).
  • les anneaux principaux locaux sont les corps commutatifs (d'idéal maximal nul) et les anneaux de valuation discrète.
  • l'anneau des séries formelles $\mathbb K[[X]]$ sur le corps $\mathbb K$ est local.
  • plus généralement, pour tout anneau local $A$ et tout ensemble $I,$ l'anneau $A[[(X_i)_{i\in I}]]$ des séries formelles en les $X_i$ et à coefficients dans $A$ est local (d'idéal maximal engendré par les $X_i$ et l'idéal maximal de $A$).
  • le quotient d'un anneau local par un idéal propre est un anneau local.

On a la caractérisation suivante des anneaux locaux :

Théorème : Soit $A$ un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $A$ est local.
  • Ses éléments non inversibles forment un idéal (qui est alors l'unique idéal maximal de $A$ et coïncide avec son radical de Jacobson).
  • Ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre.
  • Pour tout élément $a$ de $A,$ soit $a$ soit $1-a$ est inversible.
  • Pour tout élément $a$ de $A,$ soit $a$ soit $1-a$ est inversible à gauche.
  • Il existe un idéal maximal $M$ tel que pour tout élément $a$ de $M,$ $1 + a$ est inversible.

Un morphisme d'anneaux locaux $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de $A$ dans l'idéal maximal de $B.$

Recherche alphabétique
Recherche thématique