Anneau local
Un anneau $A$ est dit local s'il est commutatif, et s'il admet un unique idéal maximal. Le quotient d'un anneau local $A$ par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de $A.$
Exemples :
- pour tout nombre premier $p$ et tout entier $n\geq 1,$ l'anneau $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ est local, d'idéal maximal l'ensemble des classes des multiples de $p.$
- plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local (et l'idéal maximal est aussi l'unique idéal premier).
- les anneaux principaux locaux sont les corps commutatifs (d'idéal maximal nul) et les anneaux de valuation discrète.
- l'anneau des séries formelles $\mathbb K[[X]]$ sur le corps $\mathbb K$ est local.
- plus généralement, pour tout anneau local $A$ et tout ensemble $I,$ l'anneau $A[[(X_i)_{i\in I}]]$ des séries formelles en les $X_i$ et à coefficients dans $A$ est local (d'idéal maximal engendré par les $X_i$ et l'idéal maximal de $A$).
- le quotient d'un anneau local par un idéal propre est un anneau local.
On a la caractérisation suivante des anneaux locaux :
Théorème :
Soit $A$ un anneau. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $A$ est local.
- Ses éléments non inversibles forment un idéal (qui est alors l'unique idéal maximal de $A$ et coïncide avec son radical de Jacobson).
- Ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre.
- Pour tout élément $a$ de $A,$ soit $a$ soit $1-a$ est inversible.
- Pour tout élément $a$ de $A,$ soit $a$ soit $1-a$ est inversible à gauche.
- Il existe un idéal maximal $M$ tel que pour tout élément $a$ de $M,$ $1 + a$ est inversible.
Un morphisme d'anneaux locaux $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de $A$ dans l'idéal maximal de $B.$
Recherche alphabétique
Recherche thématique