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Dictionnaire de mathématiques > Fondements > Théorie des ensembles >

Limite supérieure et limite inférieure de suites d'ensembles

Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite de parties d'un ensemble $E$. On appelle limite supérieure la suite $(A_n)_{n\geq 1}$ la partie de $E$ définie par $$\limsup_n A_n =\bigcap_{n\geq 1}\bigcup_{k\geq n}A_k.$$ On appelle limite inférieure de la suite $(A_n)_{n\geq 1}$ la partie de $E$ définie par $$\liminf_n A_n =\bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}A_k.$$ Ainsi, $\limsup_n A_n$ est l'ensemble des $x$ de $E$ qui appartiennent à une infinité de $A_n$, et $\liminf_n A_n$ est l'ensemble des $x$ de $E$ qui appartiennent à tous les $A_n$ à partir d'un certain rang.

La notion de limite inférieure et de limite supérieure d'ensemble est importante en probabilités, notamment dans les lemmes de Borel-Cantelli.

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