Limite supérieure et limite inférieure de suites
Une suite de réels, même bornée, n'est pas forcément convergente (penser par exemple à $u_n=(-1)^n$). L'usage des limites supérieures et limites inférieures permet parfois de faire comme si c'était vrai!
Théorème et définition : Soit $(u_n)$ une suite bornée de réels. On pose, pour $n$ entier naturel,
$v_n=\sup \{u_k: k\geq n\}$. Alors la suite $(v_n)$
est décroissante, minorée, et converge donc vers une limite $\ell$. Le réel $\ell$ s'appelle la limite supérieure
de la suite $(u_n)$. On le note $\limsup_{n\to+\infty}u_n.$
Si la suite $(u_n)$ n'est pas bornée, alors pour tout entier $n$, $\sup\{u_k:\ k\geq n\}=+\infty$ et on pose $\limsup_n u_n=+\infty.$
On peut aussi définir la limite inférieure d'une suite bornée, en remplaçant le sup par un inf. La limite supérieure de la suite $(u_n)$ est la plus grande des valeurs d'adhérence de la suite, tandis que la limite inférieure de $(u_n)$ est la plus petite des valeurs d'adhérence de $(u_n)$. En outre, le passage à la limite supérieure (ou inférieure) est compatible avec le respect des inégalités larges.
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