Intégrale de Lebesgue

Il est difficile de décrire en quelques mots ce qu'est l'intégrale de Lebesgue, une construction de cette intégrale nécessitant un vrai cours. Néanmoins, nous pouvons donner ici quelques idées de la différence entre l'intégrale de Lebesgue et les intégrales de Riemann et de Cauchy.

Dans l'intégrale de Cauchy ou de Riemann, on approche $\int_a^b f(t)dt$ en faisant un découpage de $[a,b]$. On le coupe en petits segments $[x_i,x_{i+1}]$, $1\leq i\leq N$, et on dit que $$\int_a^b f(t)dt\simeq \sum_{i=1}^N (x_{i+1}-x_i)f(x_i).$$

Dans l'intégrale de Lebesgue, on ne fait pas un découpage de $[a,b]$, mais un découpage de $f([a,b])$. On le coupe en petits segments $[y_i,y_{i+1}]$, $1\leq i\leq N$, et on dit que $$\int_a^b f(t)dt\simeq \sum_{i=1}^N m(E_i) y_i$$ où $E_i=\{x\in [a,b]:\ y_i\leq f(x)\leq y_{i+1}\}$ et $m$ désigne la mesure de Lebesgue.

Par ailleurs, l'intégrale de Lebesgue peut être utilisée non seulement sur les fonctions continues par morceaux, ou sur les fonctions réglées, mais sur la classe beaucoup plus large des fonctions mesurables. Cela a notamment les deux avantages suivants :

L'intégrale de Lebesgue est vraiment un outil majeur de l'analyse moderne. Elle a permis de nombreux progrès, notamment en analyse de Fourier.

Voyons ce que dit Lebesgue lui-même à propos de son intégrale, dans des propos rapportés par A. Denjoy, L. Félix et P. Montel dans Henri Lebesgue, le savant, le professeur, l'homme, l'Enseignement Mathématique (3), 1957.

Je dois payer une certaine somme; je fouille dans mes poches et j'en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l'ordre où elles se présentent jusqu'à atteindre le total de ma dette. C'est l'intégrale de Riemann. Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables, et j'effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C'est mon intégrale.