Série de Laurent
Soit $V$ une couronne ouverte dans le plan : $$V=\left\{z\in\mathbb C:\ r_1<|z-a|<r_2\right\},\ \textrm{avec }0<r_1<r_2.$$ Soit $f$ une fonction holomorphe dans $V$. Pour $r>0$, $C(a,r)$ désigne le cercle de centre $a$ est de rayon $r$. Pour $n$ dans $\mathbb Z$, il découle du théorème de Cauchy que l'intégrale $$\int_{C(a,r)}\frac{f(\xi)}{(\xi-a)^{n+1}}d\xi$$ est indépendante de $r$ dans $]r_1,r_2[$. On définit alors le $n$-ième coefficient de Laurent de $f$ au point $a$ par la formule : $$c_n=\frac1{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\xi)}{(\xi-a)^{n+1}}d\xi=r^{-n}\int_0^{2\pi}f(a+re^{i\theta})e^{-in\theta}\frac{d\theta}{2\pi}.$$ La série $f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n (z-a)^n$ s'appelle série de Laurent de $f$ au point $a$.
Une des applications des séries de Laurent est la caractérisation des points singuliers : si $f$ est holomorphe dans un ouvert $U$, sauf en $a$, et si $f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n (z-a)^n$ est la série de Laurent de $f$ en $a$, alors :
- $c_n=0$ pour tout $n<0$ si, et seulement si, $a$ est une singularité éliminable pour $f$.
- il existe $m\geq 1$ tel que $c_{-m}\neq 0$ est non nul, mais $c_n=0$ si $n<-m $: $a$ est alors un pôle de $f$, et $m$ est sa multiplicité.
- $c_n\neq 0$ pour une infinité de $n$ négatifs : $a$ est alors un point singulier essentiel.