Groupe de Klein
On appelle groupe de Klein le groupe $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$. Il s'agit d'un groupe commutatif à 4 éléments qui n'est pas isomorphe à $\mathbb Z/4\mathbb Z$. À isomorphisme près, ces deux groupes sont les uniques groupes d'ordre 4.
Théorème :
Le groupe des automorphismes du groupe de Klein est isomorphe à $S_3.$
Le groupe de Klein admet cinq sous-groupes distingués :
- le sous-groupe trivial $\{(\bar 0,\bar 0)\}$
- le sous-groupe engendré par $(\bar 0,\bar 1)$
- le sous-groupe engendré par $(\bar 1,\bar 0)$
- le sous-groupe engendré par $(\bar 1,\bar 1)$
- le groupe de Klein lui-même.
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