Lemmes de Jordan
Les lemmes de Jordan sont des résultats permettant de déterminer des limites d'intégrales sur des chemins. Ils sont particulièrement utiles lors du calcul d'intégrales à l'aide du théorème des résidus.
Premier lemme de Jordan : Soit $f$ une fonction continue dans un domaine $\mathcal U$ et
soit $\Gamma_r$ l'intersection de $\mathcal U$ et du cercle $C(0,r)$ de centre $0$ et de rayon $r$.
On suppose que $|zf(z)|$
tend vers $0$ lorsque $|z|$ tend vers $+\infty$. Alors
$$\lim_{r\to+\infty}\int_{\Gamma_r}f(z)dz=0.$$
Le second lemme de Jordan est particulièrement utile lorsqu'on cherche à calculer des transformées de Fourier en utilisant le théorème des résidus.
Second lemme de Jordan : Soit $f$ une fonction continue dans un domaine $\mathcal U$ contenu
dans le demi-plan $\{z\in\mathbb C:\ \Im m(z)\geq 0\}$ et soit $\Gamma_r$ l'intersection de $\mathcal U$ et
du cercle $C(0,r)$ de centre $0$ et de rayon $r$.
On suppose que $|f(z)|$
tend vers $0$ lorsque $|z|$ tend vers $+\infty$. Alors pour tout $a>0,$
$$\lim_{r\to+\infty}\int_{\Gamma_r}f(z)e^{iaz}dz=0.$$
La preuve de ce dernier résultat utilise la concavité de la fonction sinus, en particulier l'inégalité de la corde : $$\forall \theta\in[0,\pi/2],\ \sin(\theta)\geq \frac2\pi\theta.$$
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