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Méthode de Jacobi

La méthode de Jacobi est une méthode itérative pour résoudre les systèmes linéaires $Ax=b$, où $A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ et $x$, $b$ sont des vecteurs de $\mathbb R^n.$ Elle consiste en la manipulation suivante : on écrit $A$ sous la forme $A=D-L-U$, où $D$ est une matrice diagonale, $-L$ est une matrice triangulaire inférieure ($L$ pour Lower), et $-U$ est une matrice triangulaire supérieure ($U$ pour Upper). On peut alors transformer le système en $$Ax=b\iff Dx-(L+U)x=b\iff x=D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b.$$ On définit ensuite une suite de vecteurs $(x^k)$ en choisissant $x^0\in\mathbb R^n$ et par la formule de récurrence $$x^{k+1}=D^{-1}(L+U)x^k+D^{-1}b$$ et on espère que la suite $(x^k)$ converge vers une solution de $Ax=b$. Sous de bonnes hypothèses concernant la matrice $A$, c'est effectivement le cas.

Théorème : Si $A$ est une matrice à diagonale dominante, alors pour tout choix de $x^0\in\mathbb R^n$, la suite $(x^k)$ converge vers l'unique solution de $Ax=b$.

Un raffinement de la méthode de Jacobi est la méthode de Gauss-Seidel.

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