Cône isotrope

Soit $Q$ une forme quadratique sur $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel où $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ (ou plus généralement un corps de caractéristique différente de $2$) et soit $x$ un élément de $E$ non nul. On dit que $x$ est isotrope si $Q(x)=0$. L'ensemble des vecteurs isotropes pour $Q$ s'appelle le cône isotrope de $Q$. C'est en effet un cône, car si $x$ est isotrope et si $\lambda\in\mathbb R$, alors $\lambda x$ est isotrope. Remarquons qu'une forme quadratique est définie si son cône isotrope est réduit à $\{0\}$.

Il ne faut pas confondre le cône isotrope d'une forme quadratique avec son noyau. Si $\varphi$ est la forme polaire associée à $q$, alors son noyau est défini par $$N_q=\{x\in E;\ \forall y\in E,\ \varphi(x,y)=0\}.$$ Le noyau de $q$ est donc l'orthogonal de $E$ relativement à la forme bilinéaire $\varphi.$

Bien sûr, le noyau (qui est un sous-espace vectoriel de $E$) est inclus dans le cône isotrope, mais la réciproque est fausse en général.