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Théorème d'invariance du domaine

Théorème : Soit $n\geq 1,$ $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et $f:U\to\mathbb R^n$ une application continue et injective. Alors $f(U)$ est un ouvert et $f$ est un homéomorphisme entre $U$ et $f(U)$.

Ainsi, si son domaine de définition est un ouvert et si les dimensions des espaces de départ et d'arrivée sont identiques, toute application injective continue est telle que sa réciproque est aussi continue.

Un corollaire important de ce théorème est le résultat suivant :

Corollaire : Soit $n,m\geq 1.$ Alors $\mathbb R^n$ et $\mathbb R^m$ sont homéomorphes si et seulement si $n=m.$
Le théorème d'invariance du domaine est prouvé par Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912.
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