Intersection - Réunion - Complémentaire
Si $A$ et $B$ sont deux ensembles, on appelle intersection de $A$ et $B$ l'ensemble des éléments communs aux deux ensembles $A$ et $B$.
L'intersection de $A$ et $B$ se note $A\cap B$. Elle vérifie les propriétés suivantes :
- L'intersection de $A$ et $B$ est égale à l'intersection de $B$ et $A$ : $A\cap B=B\cap A$. On dit que l'intersection est commutative.
- L'intersection de $A$ et de l'ensemble vide est toujours égale à l'ensemble vide.
- Si on a 3 ensembles $A,B,C$, on peut faire les intersections dans n'importe quel ordre : $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$. On dit que l'intersection est une opération associative.
Si $A$ et $B$ sont deux ensembles, on appelle réunion de $A$ et $B$ l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$.
La réunion de $A$ et $B$ se note $A\cup B$. Elle vérifie les propriétés suivantes :
- La réunion de $A$ et $B$ est égale à la réunion de $B$ et $A$ : $A\cup B=B\cup A$. On dit que la réunion est commutative.
- La réunion de $A$ et de l'ensemble vide est toujours égale à $A$.
- Si on a 3 ensembles $A,B,C$, on peut faire les réunions dans n'importe quel ordre : $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$. On dit que la réunion est une opération associative.
On peut se demander comment se comporte les opérations de passage à la réunion et de passage à l'intersection l'une vis à vis de l'autre. Tout se passe comme si on remplaçait la réunion par +, et l'intersection par ×. En particulier, l'intersection est distributive par rapport à la réunion : $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$.
Si $A$ est une partie de l'ensemble $E$, on appelle complémentaire de $A$ dans $E$ l'ensemble des élements de $E$ qui ne sont pas dans $A$. On note le plus souvent le complémentaire de $A$ par ${}^C A$, et aussi parfois (notamment en probabilités) par $\bar A$.
L'opération de passage au complémentaire vérifie les propriétés suivantes :
- L'intersection de A et de son complémentaire est vide.
- La réunion de A et de son complémentaire est l'ensemble E tout entier.
- Le complémentaire du complémentaire de A est l'ensemble A lui-même.
Enfin, notons qu'il existe des relations entre le passage au complémentaire, la réunion, et l'intersection, connues sous le nom de lois de Morgan.