Intégrale première

Si $y'=f(t,y)$ est une équation différentielle, on appelle intégrale première de l'équation différentielle toute fonction $F$ telle que, si $u$ est une solution de l'équation différentielle, $F\circ u$ est constante. Ainsi, les solutions de l'équation différentielle sont contenues dans les courbes de niveau de la fonction F, ce qui permet souvent d'en déduire de nombreuses propriétés qualitatives. Remarquons qu'une intégrale première a souvent un sens physique, et correspond à la préservation d'une quantité (comme l'énergie, ou autre...).

Exemple : le système proie/prédateur

Le système différentiel $$\left\{ \begin{align*} x'&=ax-bxy\\ y'&=cxy-dy \end{align*}\right.$$ définie sur $U=]0,+\infty[^2$ modélise l'évolution des populations $x$ et $y$ de deux espaces animales, $x$ désignant une proie et $y$ son prédateur. On prouve que la fonction $$F:(x,y)\in U\mapsto cx+by+d\ln(x)-a\ln(y)$$ est une intégrale première du mouvement. On peut alors étudier assez finement l'évolution des populations $x$ et $y$ en étudiant les lignes de niveau de $F$.