Image, ensemble image, image réciproque
Soit $E,\ F$ deux ensembles, et $f:E\to F$ une fonction. Si $x$ est un élément de $E,$ on appelle image de $x$ par $f$ l'élément $f(x)$ de $F.$ Réciproquement, si $y$ est un élément de $F,$ on appelle antécédent de $y$ par $f$ tout élément $x$ de $E$ tel que $f(x)=y.$ Un élément a toujours une seule image par une fonction, alors qu'un élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir 0,1,2,.... et même une infinité d'antécédents.
Exemple :
- l'image de 1 est 1, l'image de 2 est 1.
- 1 a deux antécédents : 1 et 2. 2 a un antécédent : 3. 3 a deux antécédents : 4 et 5. 4 n'a pas d'antécédents.
Si $A$ est une partie de $E,$ on appelle ensemble image de $A$ par $f,$ ou tout simplement image de $A$ l'ensemble $$f(A)=\{f(x):\ x\in A\}.$$ D'autre part, si $B$ est une partie de $F,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble $$f^{-1}(B)=\{x\in E:\ f(x)\in B\}.$$ Sur l'exemple précédent, on a $f(\{1,2\})=\{1\},$ tandis que $f^{-1}(\{1,3,4\})=\{1,2,4,5\}.$