Fonctions hyperboliques
Les fonctions hyperboliques sont les fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique. Elles sont définies de la façon suivante.
- sinus hyperbolique :
$$\textrm{sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2.$$
C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ et dont la courbe
représentative est :
- cosinus hyperbolique :
$$\textrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2.$$
C'est une fonction indéfiniment dérivable dont la courbe
représentative est :
- tangente hyperbolique :
$$\textrm{th}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.$$
C'est une fonction indéfiniment dérivable qui réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $[-1,1]$ et dont la courbe
représentative est :
Ces fonctions vérifient de nombreuses relations proches de celles satisfaites par les fonctions trigonométriques usuelles. Parmi les plus importantes, signalons : $$\textrm{ch}^2(x)-\textrm{sh}^2(x)=1$$ $$(\textrm{ch})'(x)=\textrm{sh}(x),\ (\textrm{sh})'(x)=\textrm{ch}(x)$$ $$\textrm{sh}(x+y)=\textrm{sh}(x)\textrm{ch}(y)+\textrm{ch}(x)\textrm{sh}(y)$$ $$\textrm{ch}(x+y)=\textrm{ch}(x)\textrm{ch}(y)+\textrm{sh}(x)\textrm{sh}(y).$$
Le nom "fonction hyperbolique" vient essentiellement de la relation $\textrm{ch}^2-\textrm{sh}^2=1$, qui fait que les fonctions $\textrm{ch}$ et $\textrm{sh}$ jouent pour l'hyperbole $x^2-y^2=1$ le même rôle que les fonctions $\sin$ et $\cos$ pour le cercle unité $x^2+y^2=1$. Par exemple, si $M$ est le point de coordonnées $(\cos(t),\sin(t))$ sur le cercle trigonométrique, avec $t\in[0,\pi/2]$, alors $2t$ est égal à l'aire du domaine délimité par le cercle, le segment $[OM]$ et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses. De même, si $M$ est le point de coordonnées $(\textrm{ch}(t),\textrm{sh}(t))$ sur l'hyperbole $x^2-y^2=1$, avec $t\geq 0$, alors $2t$ est égal à l'aire du domaine délimité par l'hyperbole, le segment $[OM]$ et son symétrique par rapport à l'origine.
C'est le mathématicien italien Vincenzo Ricatti qui introduisit ces fonctions
vers 1760, justement pour calculer l'aire sous une hyperbole.