Algorithme de Horner

Lorsqu'on cherche à évaluer un polynôme $P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$, il n'est clairement pas optimal de calculer chaque $a_k x^k$, puis de les ajouter. En effet, pour calculer $a_n x^n$, il est intéressant de se souvenir que l'on a déjà calculé $a_{n-1}x^{n-1}$, et donc $x^{n-1}$.

Le mathématicien anglais Horner a mis au point une méthode efficace utilisant cette remarque. Voici comment elle fonction sur un exemple simple : pour calculer $5x^4-4x^3+3x^2-2x+1$, on peut remarquer que cette quantité est égale à $(x(x(x(5x-4)+3)-2)+1)$. On calcule alors successivement $a=5$, $b=xa-4=5x-4$, $c=xb+3=(x(5x-4)+3$, $d=xc-2$, et enfin $e=xd+1$ qui est le résultat souhaité. Plus généralement, pour un polynôme $P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$, on écrit $$P(x)= (\cdots(((a_n x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+a_{n-3})\cdots)x+a_0.$$ Le calcul nécessitera simplement $n$ multiplications et $n$ additions.

Voici une fonction écrite sous Python qui prend en entrée la liste des coefficients d'un polynôme $P$ et un réel $x$, et qui retourne $P(x)$ grâce à la méthode de Horner.