Fonction holomorphe

Une fonction $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb C$, à valeurs dans $\mathbb C$, est dite holomorphe en $z_0$ si le taux d'accroissement $\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$ admet une limite lorsque $h$ tend vers $0$. Etre holomorphe signifie donc être dérivable de la variable complexe.

On pourrait donc s'attendre à ce qu'une fonction holomorphe vérifie à peu près les mêmes propriétés qu'une fonction dérivable. En réalité, l'holomorphie est une propriété beaucoup plus forte que la dérivabilité. Par exemple, si $f$ est holomorphe sur $U$, on prouve que $f'$ est aussi holomorphe sur $U$, et ainsi de suite... Et même mieux : une fonction holomorphe dans un ouvert $U$ est analytique dans $U$ (c'est-à-dire développable en série entière en chaque point de $U$).

La théorie des fonctions holomorphes est très riche, et conduit à de nombreuses applications géométriques et algébriques.