Fonction höldérienne
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. On dit que $f$ est $\alpha$-höldérienne, où $\alpha\in ]0,1]$, s'il existe une constante $C_\alpha>0$ telle que, pour tous $x,y\in I$, $$|f(x)-f(y)|\leq C_\alpha |x-y|^\alpha.$$ En particulier, si $\alpha=1$, on retrouve la définition des fonctions lipschitziennes.
Pour tout $\alpha\in]0,1],$ toute fonction $\alpha$-höldérienne est continue, et même uniformément continue. Si $I$ est un segment, toute fonction dérivable sur $I$ est $\alpha$-höldérienne, pour tout $\alpha\in ]0,1].$ Cette condition de régularité, qui est donc intermédiaire entre "être continue" et "être dérivable", intervient dans certains théorèmes de sommation des séries de Fourier.
On peut aussi définir une application $\alpha$-höldérienne entre deux espaces métriques $(E,d)$ et $(F,\delta)$, la condition à vérifier étant $$\delta(f(x),f(y))\leq C_\alpha \big(d(x,y)\big)^\alpha.$$