Inégalité de Hölder
L'inégalité de Hölder est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Théorème : Soit $p,q\in]1,+\infty[$ tel que $q$ est l'exposant conjugué de $p$. Si $u_1,\dots, u_n$ et $v_1,\dots,v_n$ sont des nombres complexes, alors $$ \sum_{k=1}^n \vert u_k\vert\vert v_k\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n \vert u_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n \vert v_k\vert^q\right)^{1/q}.$$ Si $f,g\in\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, alors $$\int_0^1 |fg|\leq \left(\int_0^1\vert f\vert^p\right)^{1/p}\left(\int_0^1\vert g\vert^q\right)^{1/q}.$$
Démonstration : Il s'agit essentiellement d'une inégalité de convexité, ou plutôt de concavité, du logarithme. Nous ne démontrons que l'inégalité pour les sommes, l'autre se démontrant de façon tout à fait similaire. D'autre part, nous remarquons que, quitte à considérer $ \vert u_n\vert$ et $\vert v_n\vert,$ on peut supposer que tous les nombres sont des réels positifs. La preuve peut alors être découpée en 3 parties :
- Un lemme fondamental : Si $u$, $v$ sont des réels positifs, alors : $$\displaystyle uv\leq \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$$ En effet, par concavité de $\ln $ $$\displaystyle \ln\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)\geq\frac{\ln(u^p)}{p}+\frac{\ln(v^q)}{q}=\log(uv).$$ Il suffit alors de passer à l'exponentielle.
- Un cas particulier crucial : nous démontrons pour le moment l'inégalité dans le cas où $ \sum\vert u_k\vert^p=1, \ \sum\vert v_k\vert^q=1.$ On a alors, d'après le lemme : $$\displaystyle u_kv_k\leq\frac{u_k^p}{p}+\frac{v_k^q}{q}.$$ On somme pour $ k=1,\dots,n,$ et on obtient le résultat.
- Raisonnement par homogénéité.
Pour obtenir le cas général, il suffit d'appliquer le cas particulier avec : $$\vert u'_k\vert=\frac{\vert u_k\vert}{\left(\sum\vert u_k\vert^p\cdots \vert\right)^{1/p}}, \quad\quad |v'_k\vert=\frac{\vert v_k\vert} {\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}}.$$
L'inégalité de Hölder reste encore vraie si $p=+\infty$ ou si $q=+\infty$. Il faut alors remplacer la somme ou l'intégrale faisant apparaître un exposant $+\infty$ par respectivement $$\sup_{k=1,\dots,n}|u_k|\textrm{ et }\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.$$