$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inégalité de Hölder

L'inégalité de Hölder est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Définition : Soit $p\in[1,+\infty]$. On appelle exposant conjugué de $p$ l'unique $q\in[1,+\infty]$ tel que $\frac 1p+\frac 1q=1$.

Théorème : Soit $p,q\in]1,+\infty[$ tel que $q$ est l'exposant conjugué de $p$. Si $u_1,\dots, u_n$ et $v_1,\dots,v_n$ sont des nombres complexes, alors $$ \sum_{k=1}^n \vert u_k\vert\vert v_k\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n \vert u_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n \vert v_k\vert^q\right)^{1/q}.$$ Si $f,g\in\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, alors $$\int_0^1 |fg|\leq \left(\int_0^1\vert f\vert^p\right)^{1/p}\left(\int_0^1\vert g\vert^q\right)^{1/q}.$$

Démonstration : Il s'agit essentiellement d'une inégalité de convexité, ou plutôt de concavité, du logarithme. Nous ne démontrons que l'inégalité pour les sommes, l'autre se démontrant de façon tout à fait similaire. D'autre part, nous remarquons que, quitte à considérer $ \vert u_n\vert$ et $\vert v_n\vert,$ on peut supposer que tous les nombres sont des réels positifs. La preuve peut alors être découpée en 3 parties :

  1. Un lemme fondamental : Si $u$, $v$ sont des réels positifs, alors : $$\displaystyle uv\leq \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$$ En effet, par concavité de $\ln $ $$\displaystyle \ln\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)\geq\frac{\ln(u^p)}{p}+\frac{\ln(v^q)}{q}=\log(uv).$$ Il suffit alors de passer à l'exponentielle.
  2. Un cas particulier crucial : nous démontrons pour le moment l'inégalité dans le cas où $ \sum\vert u_k\vert^p=1, \ \sum\vert v_k\vert^q=1.$ On a alors, d'après le lemme : $$\displaystyle u_kv_k\leq\frac{u_k^p}{p}+\frac{v_k^q}{q}.$$ On somme pour $ k=1,\dots,n,$ et on obtient le résultat.
  3. Raisonnement par homogénéité.
    Pour obtenir le cas général, il suffit d'appliquer le cas particulier avec : $$\vert u'_k\vert=\frac{\vert u_k\vert}{\left(\sum\vert u_k\vert^p\cdots \vert\right)^{1/p}}, \quad\quad |v'_k\vert=\frac{\vert v_k\vert} {\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}}.$$

L'inégalité de Hölder reste encore vraie si $p=+\infty$ ou si $q=+\infty$. Il faut alors remplacer la somme ou l'intégrale faisant apparaître un exposant $+\infty$ par respectivement $$\sup_{k=1,\dots,n}|u_k|\textrm{ et }\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.$$

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