L'inégalité de Hölder est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Définition : Soit $p\in[1,+\infty]$. On appelle
exposant conjugué de $p$ l'unique $q\in[1,+\infty]$ tel que
$\frac 1p+\frac 1q=1$.
Théorème : Soit $p,q\in]1,+\infty[$ tel que $q$ est l'exposant conjugué de $p$.
Si $u_1,\dots, u_n$ et $v_1,\dots,v_n$ sont des nombres complexes, alors
$$ \sum_{k=1}^n \vert u_k\vert\vert v_k\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n \vert u_k\vert^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n \vert v_k\vert^q\right)^{1/q}.$$
Si $f,g\in\mathcal C([0,1],\mathbb R)$, alors
$$\int_0^1 |fg|\leq \left(\int_0^1\vert f\vert^p\right)^{1/p}\left(\int_0^1\vert g\vert^q\right)^{1/q}.$$
Démonstration : Il s'agit essentiellement d'une inégalité de
convexité, ou plutôt de concavité, du logarithme. Nous ne démontrons que l'inégalité
pour les sommes, l'autre se démontrant de façon tout à fait similaire.
D'autre part, nous remarquons que, quitte à considérer $ \vert u_n\vert$ et $\vert v_n\vert,$ on peut supposer que tous
les nombres sont des réels positifs. La preuve peut alors être découpée en 3 parties :
Un lemme fondamental :
Si $u$, $v$ sont des réels positifs, alors :
$$\displaystyle uv\leq \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}.$$
En effet, par concavité de $\ln $
$$\displaystyle \ln\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)\geq\frac{\ln(u^p)}{p}+\frac{\ln(v^q)}{q}=\log(uv).$$
Il suffit alors de passer à l'exponentielle.
Un cas particulier crucial : nous démontrons pour le moment l'inégalité dans le cas où $ \sum\vert u_k\vert^p=1,
\ \sum\vert v_k\vert^q=1.$ On a alors, d'après
le lemme :
$$\displaystyle u_kv_k\leq\frac{u_k^p}{p}+\frac{v_k^q}{q}.$$
On somme pour $ k=1,\dots,n,$ et on obtient le résultat.
Raisonnement par homogénéité.
Pour obtenir le cas général, il suffit d'appliquer le cas particulier
avec :
$$\vert u'_k\vert=\frac{\vert u_k\vert}{\left(\sum\vert u_k\vert^p\cdots \vert\right)^{1/p}}, \quad\quad |v'_k\vert=\frac{\vert v_k\vert}
{\left(\sum\vert v_k\vert^p\right)^{1/p}}.$$
L'inégalité de Hölder reste encore vraie si $p=+\infty$ ou si $q=+\infty$. Il faut alors remplacer la somme ou l'intégrale
faisant apparaître un exposant $+\infty$ par respectivement
$$\sup_{k=1,\dots,n}|u_k|\textrm{ et }\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|.$$
Les deux formes de l'inégalité de Hölder n'en font qu'une dans le cadre
de l'intégrale de Lebesgue, où on peut énoncer la généralisation suivante : si $(\Omega,\mathcal A,\mu)$
est un espace mesuré, pour tous $p,q,r\in[1,+\infty]$ tels que $\frac 1p+\frac 1q=\frac 1r,$
pour tout $f\in L^p(\Omega)$ et tout $g\in L^q(\Omega),$ alors $fg\in L^r(\Omega)$ et
$$\|fg\|_r\leq \|f\|_p\times \|g\|_q.$$
Ceci se généralise au produit de $n\geq 2$ fonctions.
