Inégalité de Hilbert

Si $(a_p)_{p=0,\dots,n}$ et $(b_p)_{p=0,\dots,n}$ sont des suites de $(n+1)$ nombres complexes, alors on a l'inégalité suivante : $$\left|\sum_{k,j=0}^n \frac{a_k\overline{b_j}}{k+j+1}\right|\leq \pi \left(\sum_{p=0}^n |a_p|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{p=0}^n |b_p|^2\right)^{1/2}.$$ Cette inégalité a été découverte par David Hilbert en 1905.