IIIè problème de Hilbert

Dans le plan, si deux polygones ont la même surface, on peut toujours découper l'un en plusieurs polygones plus petits, réassembler les morceaux, et retrouver le second polygone. Ce résultat est connu depuis le XIXè siècle sous le nom de théorème de Bolyai-Gerwein. L'utilisation pratique de ces découpages (on dit encore dissection) permit notamment à Euclide de calculer l'aire de certaines figures du plan.

Toujours au XIXè siècle, Gauss remarqua que la formule donnant le volume d'une pyramide n'avait pu être obtenue jusque là qu'en appliquant des processus limites. Il se demanda alors s'il était possible d'en avoir une démonstration plus élémentaire, basée justement sur de tels découpages.

Plus généralement, Hilbert posa en 1900 (c'était le 3ème de ses 23 célèbres problèmes) la question suivante : étant donnés deux polyèdres de l'espace, de même volume, peut-on découper le premier en polyèdres plus petits, réassembler ces polyèdres, pour obtenir le second? On dit alors que les polyèdres sont équidécomposables. La réponse est négative et fut apportée par Max Dehn, un élève de Hilbert, dès 1902. A chaque polyèdre, Dehn associa une quantité, maintenant connue sous le nom d'invariant de Dehn, et basée sur les angles au sommet du polyèdre, telle que deux polyèdres équidécomposables ont le même invariant de Dehn. Il démontra ensuite qu'un cube a un invariant de Dehn nul, et qu'un tétraèdre régulier a un invariant de Dehn non nul. Par conséquent, ces deux polyèdres ne sont pas équidécomposables.