Polynômes de Hermite

Les polynômes de Hermite sont les polynômes $H_n$ définis pour $n\geq 0$ par : $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}h_n^{(n)}(x)\textrm{ avec }h_n(x)=e^{-x^2}.$$ En particulier, $H_n$ est un polynôme de degré $n$, de coefficient dominant $2^n$. Les premiers polynômes de Hermite sont $$\begin{array}{rcl} H_0(x)&=&1\\ H_1(x)&=&2x\\ H_2(x)&=&4x^2-2\\ H_3(x)&=&8x^3-12x. \end{array}$$

Les polynômes de Hermite forment une famille orthogonale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t^2}dt,$$ et on a de plus $$\langle H_n,H_n\rangle=\sqrt \pi 2^n n!$$ Ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : $$H_{n+1}=2XH_n-H_n'.$$ Par ailleurs, $H_n$ est solution de l'équation différentielle suivante, dite équation de Hermite : $$y''-xy'+ny=0.$$

Avec un petit changement de point de vue, on peut déduire de $(H_n)$ une base hilbertienne de $L^2(\mathbb R)$. Elle est donnée par les fonctions $\pi^{-1/4}2^{-n/2}(n!)^{-1/2}H_n(x)e^{-x^2/2}$.