$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonctions de Haar

On définit une suite de fonctions sur $[0,1]$ "par niveaux" de la façon suivante :

  • La seule fonction du niveau $0$ est la fonction constante égale à 1
  • La seule fonction du niveau $1$ est la fonction égale à $1$ sur $[0,1/2]$ et égale à $-1$ sur $[1/2,1]$.
  • Pour $k\geq 1$, soit $f$ une fonction du niveau $k$. Alors $f$ est égale à $1$ sur un intervalle $I_1$, égale à $-1$ sur un intervalle $I_2$, et égale à $0$ partout ailleurs. À partir de cette fonction $f$, on définit deux nouvelles fonctions du niveau $k+1.$ La première fonction vaut alors $1$ sur la première moitié de $I_1,$ $-1$ sur la seconde moitié, et $0$ ailleurs. La seconde fonction vaut $1$ sur la première moitié de $I_2,$ $-1$ sur la seconde moitié, et $0$ ailleurs.

On obtient ainsi au $k$-ème niveau $2^{k-1}$ fonctions. La suite de fonctions obtenue s'appelle suite des fonctions de Haar. Voici par exemple les fonctions obtenues au niveau $3$ :

Théorème : Les fonctions de Haar forment une base de Schauder de $L^p([0,1]),$ pour $p\in[ 1,+\infty[.$
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