Fonctions de Haar
On définit une suite de fonctions sur $[0,1]$ "par niveaux" de la façon suivante :
- La seule fonction du niveau $0$ est la fonction constante égale à 1
- La seule fonction du niveau $1$ est la fonction égale à $1$ sur $[0,1/2]$ et égale à $-1$ sur $[1/2,1]$.
- Pour $k\geq 1$, soit $f$ une fonction du niveau $k$. Alors $f$ est égale à $1$ sur un intervalle $I_1$, égale à $-1$ sur un intervalle $I_2$, et égale à $0$ partout ailleurs. À partir de cette fonction $f$, on définit deux nouvelles fonctions du niveau $k+1.$ La première fonction vaut alors $1$ sur la première moitié de $I_1,$ $-1$ sur la seconde moitié, et $0$ ailleurs. La seconde fonction vaut $1$ sur la première moitié de $I_2,$ $-1$ sur la seconde moitié, et $0$ ailleurs.
On obtient ainsi au $k$-ème niveau $2^{k-1}$ fonctions. La suite de fonctions obtenue s'appelle suite des fonctions de Haar. Voici par exemple les fonctions obtenues au niveau $3$ :
Théorème : Les fonctions de Haar
forment une base de Schauder de $L^p([0,1]),$
pour $p\in[ 1,+\infty[.$
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