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Graphe de Cayley

Les graphes de Cayley d’un groupe fini sont des graphes qui permettent de représenter certaines informations de ce groupe.

Soit $G$ un groupe et $S$ une partie de $G$ stable par passage à l’inverse. On définit le graphe de Cayley $\Gamma_{G,S}$ associé à $G$ et $S$ comme le graphe dont les sommets sont les éléments de $G$ et tel qu'il y a une arête entre $g$ et $g'$ si et seulement si il existe $s\in S$ tel que $g'=gs$.

Exemple : Voici le graphe de Cayley de $\mathbb Z/7\mathbb Z$ avec $S=\{1,2,5,6\}$ :

On peut lire de nombreuses propriétés de $G$ et $S$ sur le graphe $\Gamma_{G,S}$. Par exemple, $S$ est une partie génératrice de $G$ si et seulement si $\Gamma_{G,S}$ est connexe. Il existe aussi de nombreuses variantes des graphes de Cayley. Par exemple, on peut ne plus demander à ce que $S$ soit stable par passage à l'inverse ; dans ce cas, on définit un graphe orienté associé.

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