Grand cercle et distance terrestre
Dans l'espace, un grand cercle d'une sphère est l'intersection entre cette sphère et un plan passant par le centre de la sphère. En particulier, le rayon d'un grand cercle est égal au rayon de la sphère.
Sur la sphère, la plus courte distance entre deux points $A$ et $B$ est réalisée par l'arc entre $A$ et $B$ du grand cercle intersection de la sphère et du plan passant par $O,$ $A$ et $B.$
La petite application suivante permet de déterminer la distance entre deux points $A$ et $B$ sur la terre. Les coordonnées à rentrer sont celles que l'on trouve habituellement dans les tables, exprimées en degrés (puis minutes) de latitude sud ou nord, et de longitude est ou ouest.
Expliquons la méthode de calcul utilisée dans l'application. Notons $O$ le centre de la terre et $\alpha$ l'angle $$\alpha=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}).$$ La distance entre $A$ et $B$ vaut $d=R\alpha.$ Il faut donc calculer l'angle $\alpha$. Pour cela, on va calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs. En effet, il vaut $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=R^2\cos(\alpha).$$ On peut calculer ce produit scalaire d'une autre façon, en utilisant le fait que l'on connait les coordonnées sphériques de $A$ et de $B.$ En effet, si $\theta_1$ et $\phi_1$ désignent respectivement la longitude et la latitude de $A,$ si $\theta_2$ et $\phi_2$ désignent respectivement la longitude et la latitude de $B,$ et si $R$ est le rayon de la terre, alors les coordonnées (cartésiennes) de $A$ et de $B$ sont $$A\begin{pmatrix} R\cos\phi_1\cos\theta_1\\ R\cos\phi_1\sin\theta_1\\ R\sin\phi_1 \end{pmatrix}\quad\quad B\begin{pmatrix} R\cos\phi_2\cos\theta_2\\ R\cos\phi_2\sin\theta_2\\ R\sin\phi_2 \end{pmatrix} $$ Il vient \begin{align*} \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}&=R^2(\cos\phi_1\cos\phi_2\cos\theta_1\cos\theta_2+\cos\phi_1\cos\phi_2\sin\theta_1\sin\theta_2+\sin\phi_1\sin\phi_2)\\ &=R^2(\cos\phi_1\cos\phi_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\sin\phi_1\sin\phi_2). \end{align*} La distance recherchée vaut donc $$d=R\arccos(\cos\phi_1\cos\phi_2\cos(\theta_1-\theta_2)+\sin\phi_1\sin\phi_2).$$ La petite application précédente réalise exactement ce calcul, en prenant soin de bien convertir les angles en radians!