$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthode du pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est échelonné et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :

  • échange de deux lignes.
  • multiplication d'une ligne par un nombre non nul.
  • addition d'un multiple d'une ligne à une autre ligne.

Prenons l'exemple suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcll} x+2y+2z&=&2&L_1\\ x+3y-2z&=&-1&L_2\\ 3x+5y+8z&=&8&L_3 \end{array}\right.$$ On conserve la ligne $L_1$, qui sert de pivot pour éliminer l'inconnue $x$ des autres lignes; pour cela, on retire $L_1$ à $L_2$, et 3 fois $L_1$ à $L_3$. On obtient : $$\left\{ \begin{array}{rcll} x+2y+2z&=&2&L_1\\ y-4z&=&-3&L_2\leftarrow L_2-L_1\\ -y+2z&=&2&L_3\leftarrow L_3-3L_1 \end{array}\right. $$ On conserve alors la ligne $L_2$ qui sert de pivot pour éliminer $y$ de la troisième ligne; pour cela, on remplace la ligne $L_3$ par $L_3+L_2$. On trouve : $$\left\{ \begin{array}{rcll} x+2y+2z&=&2&L_1\\ y-4z&=&-3&L_2\\ -2z&=&-1&L_3\leftarrow L_3+L_2 \end{array}\right.$$ Ce dernier système, triangulaire, est facile à résoudre : la dernière ligne donne $z$, en reportant, la deuxième ligne donne $y$, etc...

Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique