Méthode de quadrature de Gauss

La méthode de Gauss est une méthode de calcul numérique d'intégrales à poids. Elle constitue une application directe de la théorie des polynômes orthogonaux. Toutefois, elle a un intérêt théorique plus que pratique.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $w:I\to\mathbb R$ un poids (ce qui signifie que $w$ est continue et strictement positive). On suppose également que, pour tout $k\geq 0$, la fonction $x\mapsto x^k w(x)$ est intégrable sur $I.$ On s'intéresse aux méthodes d'intégration approchée du type : $$\int_a^b f(x)w(x)dx\simeq \sum_{j=0}^{\ell} a_j f(x_j),\ x_j\in[a,b]$$ où $\ell\in\mathbb N$. On peut prouver qu'une telle méthode d'intégration, à $\ell+1$ points, est d'ordre au maximum $2\ell+1$. La méthode de Gauss correspond au choix qui optimise cet ordre d'intégration.

L'intérêt de la méthode de Gauss est donc de réaliser l'ordre maximal pour un nombre fixé de points d'interpolation. Néanmoins, la complexité du calcul des zéros des polynômes orthogonaux fait qu'elle n'est guère employée, sauf dans le cas où $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $]-1,1[.$ Dans ce cas, les polynômes orthogonaux considérés sont les polynômes de Tchebychev. Les racines $x_j$ valent $$x_j=\cos\left(\frac{2j+1}{2\ell+1}\pi\right),\ 0\leq j\leq \ell$$ et on démontre que $a_j=\frac{\pi}{\ell+1}.$