Groupe de Galois

Soit $K$ un corps et $L$ une extension de $K$. On dit que $L$ est une extension galoisienne de $K$ si $L$ est une extension normale et séparable de $K.$

On peut déterminer si une extension finie est galoisienne en étudiant son groupe de Galois. On appelle groupe de Galois de $L$ sur $K$, noté $Gal(L/K)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ laissant $K$ invariant. Il s'agit d'un groupe pour la loi de composition des applications.

Si $L$ est une extension de degré fini de $K$ (ce qui signifie que $L$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie), alors le cardinal de $Gal(L/K)$ est toujours inférieur ou égal au degré de l'extension. On démontre que $L$ est une extension galoisienne de $K$ si et seulement si le cardinal de $Gal(L/K)$ vaut exactement le degré de l'extension.

Si $P$ est un polynôme de $K[X]$, on appelle groupe de Galois de $P$ le groupe $Gal(L/K)$, où $L$ est le corps de décomposition de $P$ sur $K$.