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Transformée de Fourier

Définition

Le son est de nature ondulatoire. Il correspond à une vibration qui se propage dans le temps. Pourtant, quand on écoute un instrument de musique, on n'entend pas une vibration (fonction du temps), mais une note, c'est-à-dire une fréquence. Notre oreille a donc pesé le poids relatif de chaque fréquence dans le signal temporel : elle a calculé la transformée de Fourier du signal original.

Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par $$\hat f(x)=\int_{\mathbb R}e^{-ixt}f(t)dt.$$

Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier, la normalisation peut changer. On peut par exemple rencontrer la définition $$\hat f(x)=\int_{\mathbb R}e^{-2\pi ixt}f(t)dt$$ ou encore $$\hat f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}e^{-ixt}f(t)dt.$$ Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après.

Propriétés

Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant :

$$ \begin{array}{c|c} \textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\ \hline f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\ f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\ f\star g& \hat f \cdot \hat g\\ f\cdot g&\frac 1{2\pi}\hat f\star \hat g\\ f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t). \end{array}$$

En outre, pour tout $f$ de $L^1(\mathbb R)$, on prouve que $\hat f$ est continue, que $\hat f$ tend vers 0 en l'infini et donc que $\hat f$ est bornée. Plus précisément, l'application qui à tout $f\in L^1(\mathbb R)$ associe sa transformée de Fourier $\hat f\in \mathcal C_0(\mathbb R),$ où $\mathcal C_0(\mathbb R)$ est l'ensemble des fonctions continues qui tendent vers $0$ en l'infini, est une application linéaire continue de norme $1$ et injective. C'est aussi un morphisme d'algèbres.

Si $f$ est plus régulière, on a le résultat suivant :

Théorème : Soit $f\in\mathcal C^n(\mathbb R)$ telle que $f,f',\dots,f^{(n)}\in L^1(\mathbb R)$. Alors pour tout $j=1,\dots,n,$ on a pour tout $x\in\mathbb R,$ $$\widehat{f^{(j)}(x)}=(ix)^j \hat f(x).$$ En particulier, il existe une constante $A>0$ telle que : $$\forall x\in \mathbb R,\ |\hat f(x)|\leq \frac A{(1+|x|)^n}.$$
Réciproquement, si $x^j f\in L^1(\mathbb R)$ pour $j=0,\dots,n$, alors $\hat f$ est régulière :
Théorème : Soit $f\in L^1(\mathbb R)$ et $n\geq 1$ tel que $x^j f\in L^1(\mathbb R)$ pour tout $j=0,\dots,n$. Alors $\widehat f\in\mathcal C^n(\mathbb R)$ et pour tout $j=0,\dots,n$, $$\widehat{f}^{(j)}=(-i)^j \widehat{x^j f}.$$

Les deux théorèmes précédents illustrent le principe général suivant : la transformée de Fourier échange la régularité et la décroissance en l'infini.

Transformées de Fourier classiques
$$ \begin{array}{c|c} \textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\ \hline \displaystyle e^{-ax^2},\ a>0 &\displaystyle \sqrt{\frac\pi a}e^{-\frac{x^2}{4a}}\\ \displaystyle e^{-a|x|},\ a>0 &\displaystyle \frac{2a}{x^2+a^2}\\ \displaystyle \mathbf 1_{[-a,a]},\ a>0&\displaystyle 2\frac{\sin(ax)}{x}\\ \displaystyle \frac1{a^2+x^2},\ a>0&\displaystyle \frac{\pi}a e^{-a|x|} \end{array} $$
Inversion de la transformée de Fourier

Sous certaines conditions, il est possible d'inverser la transformée de Fourier, c'est-à-dire de retrouver $f$ en connaissant $\hat f$.

Théorème : Soit $f\in L^1(\mathbb R)$ telle que $\hat f\in L^1(\mathbb R)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$, $$g(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}e^{ixt}\hat f(t)dt.$$ Alors $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$, et $g=f$ presque partout.

On en déduit que deux fonctions intégrables qui ont même transformée de Fourier sont égales presque partout.

$L^1(\mathbb R)$ n'est pas forcément le meilleur cadre pour définir la transformée de Fourier, car $L^1(\mathbb R)$ n'est pas stable par la transformée de Fourier. On préfère souvent l'étudier sur $L^2(\mathbb R)$ (définition via le théorème de Plancherel), sur l'espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide, ou encore sur l'espace des distributions tempérées. La transformée de Fourier permet de résoudre des équations différentielles, ou des équations de convolution, qu'elle transforme en équations algébriques.
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