Formes positives, définies, non dégénérées
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $f$ une forme bilinéaire sur $E$. On dit que $f$ est:
- positive si pour tout $x$ de $E$, $f(x,x)\geq 0$.
- définie si pour tout $x$ de $E$, $f(x,x)=0$ entraîne $x=0$.
- définie positive si elle est définie et positive.
- non dégénérée si le seul vecteur $x$ tel que $f(x,y)=0$ pour tout $y$ de $E$ est le vecteur nul (autrement dit, seul le vecteur nul est orthogonal (selon $f$) à tous les vecteurs de l'espace).
- alternée si $f(x,x)=0$ pour tout $x\in E.$
- symétrique si $f(x,y)=f(y,x)$ pour tous $x,y\in E.$
- antisymétrique si $f(x,y)=-f(y,x)$ pour tous $x,y\in E.$
Remarquons qu'une forme définie est forcément ou définie positive, ou définie négative (même définition en remplaçant $\geq$ par $\leq$). D'autre part, une forme définie est forcément non dégénérée. De plus, toute forme alternée est antisymétrique. Si la caractéristique du corps est différente de $2,$ en particulier si $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C,$ les deux notions sont équivalentes.
Ces définitions s'appliquent aussi aux formes hermitiennes définies sur un $\mathbb C$-espace vectoriel.
Recherche alphabétique
Recherche thématique