Fonction et application
Une fonction est un objet mathématiques qui à tout élément d'un ensemble de départ associe un élément d'un ensemble d'arrivée. Par exemple, on peut associer à tous les élèves d'une classe sa taille. La définition mathématique précise d'une fonction est la suivante.
Soit $E$ et $F$ deux ensembles. On appelle fonction (ou application) de $E$ dans $F$ la donnée d'une partie $G$ de $E× F$ telle que, pour tout $x$ de $E,$ il existe un unique $y$ de $F$ tel que $(x,y)$ soit élément de $G.$ On dit que $y$ est l'image de $x$ par $f,$ et on le note $f(x).$ L'ensemble $G=\{(x,f(x):\ x\in E\}\subset E\times F$ s'appelle alors le graphe de la fonction.
Lorsque $E$ et $F$ sont des parties de $\mathbb R,$ le graphe d'une fonction peut se représenter comme une partie du plan. Cela conduit aux exercices bien connus : représenter le graphe de la fonction....
La définition donnée ci-dessus
ne fait pas de distinction entre fonction et application. Du temps de l'enseignement
des "mathématiques modernes", on faisait une subtile différence :
si $E$ et $F$ sont deux ensembles, une fonction de $E$ dans $F$ est la donnée d'une partie $G$
de $E×F$ telle que, pour tout $x$ de $E,$ l'ensemble $(\{x\}\times F)\cap G$
ait au plus un élément. Autrement dit, à chaque $x$ de $E,$ on associe $0$ ou $1$ image. Une application de $E$ dans $F$
est la donnée d'une partie $G$
de $E×F$ telle que, pour tout $x$ de $E,$ l'ensemble $(\{x\}\times F)\cap G$
ait exactement un élément. Une fonction devient alors une application quand on la réduit à son domaine
de définition! Cette distinction ne s'est jamais imposée, et les gens ont continué à utiliser
de façon identique les termes fonctions et applications (sauf peut-être en analyse où on demande souvent
de déterminer le domaine de définition d'une fonction).