Filtration

Sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$, on appelle filtration toute suite croissante $(\mathcal F_n)$ de sous-tribus de $\mathcal F$.

La notion de filtration représente l'évolution de l'information au cours du temps. Imaginons par exemple qu'on lance trois fois de suite une même pièce de monnaie. L'univers associé est $$\Omega=\{(P_1,P_2,P_3);(P_1,P_2,F_3),\dots\}.$$ Il contient les $2^3=8$ issues possibles de l'expérience. La tribu associée est la tribu engendrée par tous les éléments de $\Omega$ : c'est donc $\mathcal P(\Omega)$. Maintenant, si on s'intéresse à l'information dont on dispose après le premier lancer, il est impossible de distinguer les issues $(P_1,P_2,P_3)$, $(P_1,P_2,F_3)$ et $(P_1,F_2,P_3)$ par exemple. La tribu $\mathcal P(\Omega)$ n'est plus adaptée. La tribu la plus naturelle est la tribu $\mathcal F_1$ engendrée par les deux ensembles $$\{(P_1,P_2,P_3), (P_1,P_2,F_3), (P_1,F_2,P_3), (P_1,F_2,F_3)\}$$ $$\textrm{ et }\{(F_1,P_2,P_3), (F_1,P_2,F_3), (F_1,F_2,P_3), (F_1,F_2,F_3)\}.$$ Si on s'intéresse ensuite à l'information disponible après le deuxième lancer, on pourra distinguer les événements $(P_1,P_2,P_3)$ et $(P_1,F_2,P_3)$, mais pas les événéments $(P_1,P_2,P_3)$ et $(P_1,P_2,F_3)$. La tribu correspondante est la tribu engendrée par les quatre ensembles : $$\{(P_1,P_2,P_3), (P_1,P_2,F_3)\}, \{(P_1,F_2,P_3), (P_1,F_2,F_3)\}, \{(F_1,P_2,P_3), (F_1,P_2,F_3)\}$$ $$\textrm{ et } \{(F_1,F_2,P_3), (F_1,F_2,F_3)\}.$$ Si on pose $\mathcal F_3=\mathcal P(\Omega)$, tribu bien adaptée lorsqu'on a effectué les trois lancers, la suite $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2\subset \mathcal F_3$ est une filtration bien adaptée à l'expérience.