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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions > Séries de Fourier >

Théorème de Fejér

Pour certaines fonctions continues $f$, la série de Fourier de $f$ ne converge par vers $f$. Il est intéressant de se demander ce qui se passe lorsqu'on réalise la moyenne de Cesàro des sommes partielles. On obtient le résultat suivant, dû à Fejér :

Théorème : Soit $f$ une fonction continue $2\pi$-périodique, on note $S_n(f)$ la $n$-ième somme partielle de la série de Fourier de $f$, et $\sigma_N(f)$ la $N$-ième moyenne de Cesàro de ces sommes partielles, c'est-à-dire $$\sigma_N(f)=\frac{S_0(f)+\cdots+S_{N-1}(f)}{N}.$$ Alors $(\sigma_N(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb R$ et de plus, pour tout entier $N\geq 1,$ $\|\sigma_N(f)\|_\infty\leq \|f\|_\infty.$

C'est un théorème très intéressant : c'est un résultat positif de convergence ponctuelle dans la théorie des séries de Fourier, qui permet par exemple de démontrer la densité des polynômes trigonométriques dans l'ensemble des fonctions continues $2\pi$-périodiques.

Il existe aussi une version du théorème de Fejér pour les fonctions dont la puissance $p$-ième est intégrable :

Théorème : Soit $f\in L^p([0,2\pi])$ avec $p\in[1,+\infty[.$ Alors $\|\sigma_N(f)-f\|_p\to 0$ et pour tout entier $N\geq 1,$ $\|\sigma_N(f)\|_p\leq \|f\|_p.$
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