Fonctions exponentielle
Il y a de nombreuses façons de définir la fonction exponentielle (à l'aide de sa série entière, comme réciproque de la fonction logarithme, à l'aide de l'équation fonctionnelle...). Nous donnons ici la définition adoptée dans l'enseignement secondaire français.
La fonction exponentielle vérifie les propriétés suivantes :
- Propriétés opératoires : $$\forall a,b\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\ \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),\ \exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$$ $$\exp(na)=(\exp a)^n.$$
- Dérivée : la fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb R$ et $(\exp)'=\exp$;
- Sens de variation : la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb R$;
- Limites aux bornes : $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$, $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$;
- Croissance comparée : pour tout $n\in\mathbb N$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\exp(x)}{x^n}=+\infty;$
- Inégalité classique : $\forall x\in\mathbb R,\ \exp(x)\geq 1+x$.
- Courbe représentative :
Par ailleurs, la fonction exponentielle est développable en série entière et pour tout $x\in\mathbb R,$ on a $$\exp(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}.$$
La fonction exponentielle, et sa fonction réciproque le logarithme, permettent de définir des puissances non entières d'un réel strictement positif : Soit $a$ un réel strictement positif et $b$ un réel. On définit $a^b$, appellé $a$ puissance $b$ ou $a$ exposant $b$, en posant : $$a^b=\exp(b\ln(a)).$$ En particulier, on retrouve, à l'aide des propriétés du logarithme et de l'exponentielle, les bonnes valeurs pour $a^2=a\times a$, pour $a^{1/2}=\sqrt{a}.$ Les règles de calcul avec des puissances réelles sont les mêmes que lorsqu'on manipule des exposants entiers. Ainsi :
- $1^b=1;$
- $x^{b+c}=x^b x^c;$
- $(xy)^c=x^cy^c.$
Soit $a$ un réel positif. La fonction $v,$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R,$ définie par $v(x)=a^x,$ s'appelle exponentielle de base $a.$ Le comportement de l'exponentielle de base $a$ dépend beaucoup de la position de $a$ par rapport à $1.$ On l'étudie en revenant à $a^x=\exp(x\ln(a)).$
Logarithme et exponentielle sont au resto. Le garçon vient porter la note. Qui la règle? Exponentielle, car Logarithme ne paie rien.