Espace vectoriel engendré
Soit $E$ un espace vectoriel, et $A$ une partie de $E$. On appelle espace vectoriel engendré par $A$ le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l'inclusion) de $E$ qui contient $A$. Il est noté $\textrm{vect}(A)$ (en anglais $\textrm{span}(A)$).
Précisons un peu ce que signifie plus petit au sens de l'inclusion. On dit que $F$ est le plus petit sous-espace vectoriel contenant $A$ au sens de l'inclusion si :
- $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- $A$ est inclus dans $F$.
- Si $G$ est un sous-espace vectoriel contenant $A$, alors $F$ est inclus dans $G$.
L'existence d'un tel sous-espace vient du fait que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. En outre, on a la description explicite suivante de $\textrm{vect}(A)$ : $$\textrm{vect}(A)=\{y\in E:\ \exists n\in\mathbb N, \exists x_1,\dots,x_n\in A,\ \exists \lambda_1,\dots,\lambda_n\in \mathbb R, y=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_n x_n\}.$$