Méthode d'Euler
Bien souvent, on ne sait pas résoudre exactement une équation différentielle, c'est-à-dire qu'on ne sait pas donner la forme explicite des solutions. Il faut alors recourir à des méthodes qui donnent des solutions approchées. La méthode d'Euler est l'une d'entre elles. L'idée principale est d'approcher, au voisinage d'un point $(x_0,y_0),$ une fonction inconnue par sa tangente, qui elle est connue.
Précisons : on considère $u'=f(x,u)$ une équation différentielle de condition initiale $y_0=u(x_0).$ Si $u$ est solution de cette équation différentielle, on a $u'(x_0)=f(x_0,y_0),$ et la tangente en $(x_0,y_0)$ à la courbe représentative de $u$ a pour équation $y=f(x_0,y_0)(x-x_0)+y_0.$ Sur un petit intervalle $[x_0,x_1]$, on remplace la courbe représentative de $u$ par cette tangente. Au point $(x_1,y_1)$, avec $y_1$ l'ordonnée du point d'abscisse $x_1$ sur la tangente, on recommence en prenant cette fois la droite de coefficient directeur $f(x_1,y_1).$
Ainsi, si $b>x_0,$ et si on souhaite obtenir une valeur approchée de $u(b),$ on procède de la sorte : on choisit un nombre de pas $n$, et on pose $h=(b-x_0)/n$ le pas. On définit par récurrence des suites $(x_p)$ et $(y_p)$ avec $$x_{p+1}=x_p+h,\ y_{p+1}=hf(x_p,y_p)+y_p.$$ On a $x_n=b,$ et on prouve que si $f$ est $\mathcal C^1$, pour $h$ petit, $y_n$ constitue une bonne approximation de $u(b).$
Sur l'animation Geogebra suivante, on peut voir comment trouver une approximation de la solution de $y'=y$, $y(0)=1$ (autrement dit de la fonction exponentielle) sur $[0,1]$.
- Si on a $n=1$, alors on approche sur $[0,1]$ la fonction exponentielle par la fonction $x\mapsto 1+x$, puisque $y(0)=y'(0)=1$.
- Si on a $n=2$, alors on fait la même approximation sur $[0,1/2]$. A partir de $(1/2,3/2)$, on approche cette fois la fonction par la fonction $x\mapsto \frac 32\left(x-\frac 12\right)+\frac 32$, puisque si $y$ est une solution de l'équation valant $3/2$ en $1/2$, alors $y'(1/2)=3/2$.
- Et ainsi de suite...
Il existe des méthodes plus évoluées que la méthode d'Euler, comme la méthode de Runge-Kutta. Elles sont employées dans les logiciels de calcul formel comme Maple.
La méthode d'Euler est publié par le mathématicien suisse en 1768.
Source : Francois Liret,Dominique Martinais, Mathématiques pour le Deug, Analyse 2ième année. L'animation Geogebra est inspirée d'une ressource partagée par "Rougier".