Équations différentielles particulières

Sur cette page, on présente quelques équations différentielles particulières, ainsi que des méthodes de résolution, qu'il faudra rendre rigoureuses au cas par cas.

Une équation différentielle $y'=f(x,y)$ est à variables séparables si $f$ peut se mettre sous la forme $$f(x,y)=\frac{a(x)}{b(y)}.$$ L'équation différentielle peut se réécrire $b(y)y'=a(x)$. Si $A$ et $B$ sont des primitives respectives de $a$ et $b$, une solution $y$ vérifie $$B(y)=A(x)+\lambda.$$ Si on arrive à trouver la fonction réciproque de $B$, on pourra obtenir $y$.

Une équation différentielle $y'=f(t,y)$ est autonome si le temps n'intervient pas dans l'équation, c'est-à-dire si $y'=f(y)$. Si $t\mapsto y(t)$ est une solution de l'équation différentielle autonome, tout translaté $t\mapsto y(t-t_0)$ est aussi solution de l'équation différentielle autonome.

Il s'agit des équations différentielles du type $$y'(t)=a(t)y+b(t)y^\alpha,\ \alpha\in\mathbb R\backslash\{0,1\}.$$ On cherche les solutions qui ne s'annulent pas $$\frac{y'}{y^\alpha}=\frac{a(t)}{y^{\alpha-1}}+b(t).$$ On pose $z=y^{1-\alpha}$. On obtient $$\frac{1}{1-\alpha}z'=a(t)z+b(t).$$ On obtient une équation linéaire d'ordre 1 en $z$, que l'on sait résoudre.

Exemple : Soit à résoudre $y'=y^3-\frac yx$. On pose $z=\frac 1{y^2}.$ On obtient donc $$-\frac{z'}2=1-\frac zx\implies z(x)=2x+\lambda x^2$$ ce qui donne au final $$y(x)=\pm\frac1{\sqrt{2x+\lambda x^2}}.$$

Il s'agit des équations différentielles du type $$y'(t)=a(t)y^2+b(t)y+c(t).$$ Si on connait une solution particulière $y_0$, alors on sait résoudre cette équation différentielle. On pose en effet $y=y_0+z$ et en remplaçant, on trouve que $$z'=(2a(t)y_0(t)+b(t))z+a(t)z^2.$$ On obtient donc une équation de Bernoulli, que l'on sait résoudre.

Il s'agit des équations différentielles du type $$y=a(y')t+b(y').$$ Les fonctions affines qui sont solutions sont appelées solutions singulières. Elles s'écrivent $t\mapsto mt+b(m)$, où $m$ est un point fixe de $a$, c'est-à-dire $a(m)=m$. Les solutions régulières sont celles pour lesquelles $y$ est $\mathcal C^2$ et $y''$ ne s'annule pas. On cherche à paramétrer le graphe d'une solution avec $p=y'$. En effectuant le changement $p=y'$, l'équation se réécrit $$y=a(p)t+b(p).$$ On dérive par rapport à $p$ et on trouve successivement $$p=a(p')\frac{dp}{dt}+a(p)+b'(p)\frac{dp}{dt}$$ $$(p-a(p))\frac{dt}{dp}=a'(p)t+b'(p).$$ On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre, que l'on sait résoudre, et l'on trouve $p\mapsto t(p)$. On connait alors $y(p)$ grâce à l'équation initiale. Un paramétrage du graphe des solutions $\mathcal C^2$ est donc donné par $$p\mapsto (t(p),a(p)t(p)+b(p)).$$

Il s'agit des équations différentielles du type $$y=y't+b(y').$$ Il s'agit d'un cas particulier de l'équation de Lagrange, que l'on résout de la même façon.

Exemple : Résoudre $y=ty'-y^2/4$. On utilise le paramètre $p=y'$. L'équation s'écrit alors $y=tp-p^2/4$, donc $dy=pdt+tdp-pdp/2$, c'est-à-dire $(t-p/2)dp=0$.

On peut raccorder ces solutions pour obtenir d'autres solutions.