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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Processus >

Théorème de décomposition de Doob

Théorème : Soit $(X_n,\mathcal F_n)$ une sous-martingale. Il existe des processus $(Y_n)$ et $(Z_n)$ uniques tels que
  • $(Y_n,\mathcal F_n)$ est une martingale;
  • $Z_0=0$, $Z_n\leq Z_{n+1}$ presque sûrement et $Z_n$ est $\mathcal F_{n-1}$ mesurable;
  • $X_n=Y_n+Z_n$.
Dire que $Z_n$ est $\mathcal F_{n-1}$ mesurable signifie qu'on connait parfaitement la valeur de $Z_n$ à l'instant $n-1$.
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