Diviseurs de zéro - Anneau intègre
Considérons les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes : $$M=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&0 \end{pmatrix},\quad\quad N=\begin{pmatrix} 2&-4\\ -1&2 \end{pmatrix}.$$ Aucune de ces deux matrices n'est la matrice nulle, et pourtant leur produit vérifie : $$M\times N=\begin{pmatrix}0&0\\0&0 \end{pmatrix}.$$ On dit que les matrices $M$ et $N$ sont des diviseurs de zéro.
Plus généralement, on a les définitions suivantes :
Définition : Soit $A$ un anneau.
- Un élément $a$ non nul de $A$ est appelé un diviseur de zéro s'il existe un autre élément $b$ non nul de $A$ tel que $ab=0$.
- Si $A$ est un anneau commutatif non réduit à $\{0\}$ et si $A$ ne possède pas de diviseur de zéro, alors on dit que $A$ est intègre.
Exemples :
- $\mathbb Z$ est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul.
- l'exemple précédent montre que $\mathcal M_2(\mathbb R)$ n'est pas un anneau intègre.
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