Autour de la division euclidienne
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs. Alors il existe un unique couple $(q,r)\in\mathbb Z\times\mathbb N$ tel que $$\left\{ \begin{array}{l} a=bq+r\\ 0\leq r<|b|. \end{array}\right.$$ On dit alors qu'on a réalisé la division euclidienne de $a$ par $b$; $q$ est le quotient, et $r$ le reste de cette opération.
Exemple : $23=4×5+3$ : dans la division euclidienne de $23$ par $4,$ $5$ est le quotient et $3$ le reste.
Il existe une opération analogue pour les polynômes à coefficients dans un corps $\mathbb K$, par exemple l'ensemble des nombres réels ou des nombres complexes : si $A$ et $B$ sont deux polynômes, $B$ étant non nul, alors il existe un unique couple de polynômes $(Q,R)$ tel que $$\left\{ \begin{array}{l} A=BQ+R\\ \deg(R)<\deg(B). \end{array}\right.$$ $Q$ s'appelle toujours le quotient, et $R$ le reste.
On peut poser une telle division euclidienne de la même façon que l'on effectue une division avec les entiers.
Exemple : $A=X^5-3X^3-X^2+X+4,$ et $B=X^3-2X^2+1.$
Les deux exemples précédents (entiers relatifs, polynômes) sont des anneaux où on a une arithmétique particulièrement puissante : pgcd, ppcm, etc.... On définit un type particulier d'anneau, qui ressemblent beaucoup à ceux-ci, car ils possèdent une division euclidienne :
Un anneau $A$ est dit euclidien s'il est intègre, et s'il existe $\nu:A\backslash\{0\}\to\mathbb N$ vérifiant : pour tout $(a,b)\in A^2$ avec $b\neq 0$, il existe $(q,r)\in A^2$ avec $$\left\{ \begin{array}{l} a=bq+r\\ r=0\textrm{ ou }\nu(r)<\nu(b). \end{array}\right.$$ La fonction $\nu$ est alors appelé un stathme euclidien.
Exemples :
- $\mathbb Z$, $\mathbb K[X]$, $\mathbbK[[X]$, où $\mathbb K$ est un corps, sont des anneaux euclidiens. Dans le premier cas, le stathme usuel est la valeur absolue, dans le second, le degré, dans le troisième, la valuation.
- L'anneau des entiers de Gauss $\mathbb Z[i]=\{x+iy:\ (x,y)\in\mathbb Z^2\}$ est aussi un anneau euclidien avec pour stathme euclidien le carré du module.
- Tout corps commutatif est un anneau euclidien.
- Si $A$ est un anneau euclidien et si $S$ est une partie de $A$ stable pour la multiplication, le localisé de $A$ par rapport à $S$ est aussi un anneau euclidien.
Les anneaux euclidiens sont très souvent introduits, car tout anneau euclidien est principal. En revanche, l'anneau $\mathbb Z[(1+i\sqrt{19})/2]$ est principal, mais il n'est pas euclidien.
Remarquons que dans la définition d'un anneau euclidien, on ne réclame pas l'unicité du quotient et du reste...