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Théorème de Dirichlet et de Jordan-Dirichlet

Le théorème de Dirichlet est une condition suffisante qui assure la convergence de la série de Fourier de $f$ vers $f.$

Théorème : Soit $f$ une fonction continue, $C^1$ par morceaux, $2\pi$-périodique. Alors la série de Fourier de $f$ converge normalement vers $f$.

Il existe de nombreux raffinements du théorème de Dirichlet, en affaiblissant les hypothèses, mais aussi en affaiblissant le résultat. Une des variantes la plus célèbre est le théorème de Jordan-Dirichlet, où on ne suppose pas que $f$ est continue :

Théorème : Soit $f$ une fonction $C^1$ par morceaux, $2\pi$-périodique. Alors en tout réel $x$, la série de Fourier de $f$ converge vers $$\frac{f(x+0)+f(x-0)}2.$$

Ici, la notation $f(x+0)$ désigne simplement la limite à droite de $f$ en $x$, et $f(x-0)$ désigne la limite à gauche de $f$ en $x$.

Les hypothèses données ici pour le théorème de Jordan-Dirichlet sont loin d'être les meilleures possibles. Il suffit en réalité d'avoir des informations uniquement autour de $x$, par exemple que $f$ admet des limites à droite et à gauche en $x$ et qu'on peut trouver $\alpha>0$ tel que les intégrales $$\int_0^\alpha \frac{|f(x+t)-f(x+0)|}t dt\textrm{ et }\int_0^\alpha \frac{|f(x-t)-f(x-0)|}t dt$$ convergent. Toutefois, on ne peut pas supposer simplement que $f$ est continue en $x$. Du Bois-Reymond a en effet donné l'exemple d'une fonction $2\pi$-périodique, continue en 0, et dont la série de Fourier diverge en 0.

C'est Dirichlet le premier qui donne en 1825 un théorème de convergence des séries de Fourier. Les hypothèses qu'il donnent sont que la fonction est bornée, continue par morceaux et monotone par morceaux. C'est dans un article de 1881 que Jordan, en analysant finement la preuve de Dirichlet, généralise son résultat de convergence ponctuelle.

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