$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Fondements > Théorie des ensembles >

Différence symétrique

Soit $X$ un ensemble, et $E,F$ des parties de $X.$ La différence de $E$ et $F$ est l'ensemble, noté $E\backslash F,$ des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $F$ : $$E\backslash F=\{x\in X:\ x\in E \textrm{ et }x\notin F\}=E\cap F^c.$$

On appelle différence symétrique de $E$ et $F,$ notée $E\Delta F$ (lire $E$ delta $F$), l'ensemble constitué par la réunion des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $F,$ et des éléments de $F$ qui ne sont pas dans $E\ :$ $$E\Delta F=(E \cap F^c)\cup(F\cap E^c)=(E\backslash F)\cup(F\backslash E).$$

Si $X$ est un ensemble et $\mathcal{P}(X)$ désigne l'ensemble des parties de $X,$ alors $ (\mathcal{P}(X),\Delta)$ est un groupe.

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