Dérivée logarithmique

Soit $I$ un intervalle et $f:I\to\mathbb R$ dérivable qui ne s'annule pas. On appelle dérivée logarithmique de $f$ la fonction $f'/f,$ c'est-à-dire la dérivée de la fonction $\ln|f|.$ Si on note $D$ l'application dérivée logarithmique, alors elle vérifie les propriétés suivantes, pour toutes fonctions $f,g:I\to\mathbb R^*$ dérivables et tout $\alpha\in \mathbb R$ : $$D(fg)=D(f)+D(g)$$ $$D(f/g)=D(f)-D(g)$$ $$D(f^\alpha)=\alpha D(f)$$ (sous l'hypothèse supplémentaire $f>0$ pour cette dernière propriété).