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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Modes de convergence et théorèmes limites >

Théorème de de Moivre-Laplace

Théorème : Soient $p\in]0,1[$ un réel fixé et soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires, telle que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$. Posons $$Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}.$$ Alors, pour tous réels $a$ et $b$ $$P(Z_n\in[a,b])\xrightarrow{n\to+\infty}\int_a^b \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx.$$

  Ce théorème est un cas particulier du théorème central limite. Il justifie les approximations des lois binomiales par la loi normale, qui est plus commode à manipuler numériquement.
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