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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Corps >

Degré d'une extension

Soit $K$ et $L$ deux corps tels que $L$ est une extension de $K.$ $L$ est alors un $K$-espace vectoriel (et même une $K$-algèbre). On appelle degré de l'extension, et on note $[L:K]$, la dimension de $L$ en tant que $K$-espace vectoriel. Une extension de degré fini (resp. de degré 2, 3) est dite finie (resp. quadratique, cubique).

Ex : $\mathbb C$ est une extension de $\mathbb R$ de degré 2.

Proposition : Soit $K\subset L$ une extension de corps.
  • Si l'extension est finie, elle est algébrique. En outre, pour tout $x\in K,$ le degré du polynôme minimal de $x$ sur $K$ divise $[L:K].$
  • Pour tout $x\in L,$ $x$ est algébrique sur $K$ signifie que l'extension $K\subset K(x)$ est de degré fini.
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