Développement asymptotique
La notion de développement asymptotique est une généralisation de la notion de développement limité. Soit $a\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$ et $(\varphi_n)$ une suite de fonctions définies au voisinage de $a$ et vérifiant $\varphi_{n+1}=_ao(\varphi_n)$ pour tout $n\in\mathbb N.$ Un développement asymptotique d'une fonction $f$ définie au voisinage de $a$ à l'ordre $n\in\mathbb N$ suivant la famille $(\varphi_n)$ est un développement de la forme $$f=_a c_0\varphi_0+c_1\varphi_1+\cdots+c_n\varphi_n+o(\varphi_n)$$ où $c_0,\dots,c_n\in\mathbb R.$ La suite $(\varphi_n)$ s'appelle alors une échelle de comparaison.
Exemples :
- si $a\in\mathbb R,$ la famille $((x-a)^n)$ est une échelle de comparaison qui définit la notion de développement limité en $a.$
- si $a=+\infty,$ la famille des puissances $((1/x^n))$ définit aussi une échelle de comparaison. Par exemple, le développement asymptotique à l'ordre $2$ de la fonction $x\mapsto \ln\left(\frac{x-1}x\right)$ suivant cette échelle est $$\ln\left(\frac{x-1}x\right)=\frac{-1}x-\frac{2}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right).$$
On peut aussi définir des développements asymptotiques par rapport à une suite de fonction indexée par $\mathbb Z,$ par exemple la suite $((x^n))_{n\in\mathbb Z}$ en $0$ ou en $+\infty.$ Ainsi, au voisinage de $0,$ on a le développement asymptotique $$\frac1{\sin x}=\frac 1x+\frac{t}6+\frac{7t^3}{360}+o(t^3).$$