Théorème de D'Alembert-Gauss
On rencontre pour la première fois ce théorème dans un mémoire de Jean le Rond d'Alembert publié en 1746, sous la forme suivante : « soit un multinôme quelconque $x^m+ax^{m-1}+b x^{m-2}+\cdots+fx+g$ tel qu'il n'y ait aucune quantité réelle qui étant substituée à la place de $x$ y fasse évanouir tous les termes, je dis qu'il y aura toujours une quantité $p+q\sqrt {-1}$ à substituer à la place de $x$ et qui rendra ce polynôme égal à $0$». Cette formulation un peu compliquée traduit le fait que les racines d'un polynôme sont forcément à chercher dans les nombres réels ou les nombres imaginaires introduits par Bombelli. La preuve de d'Alembert est largement incomplète, même pour les critères de rigueur de son époque. Euler en 1749, puis Lagrange quelques années plus tard, proposent également des démonstrations. Toutes deux utilisent implicitement le théorème des valeurs intermédiaires, qui ne sera démontré qu'en 1817 par Bolzano, et encore il faudra attendre les années 1860 et la construction des réels par Weierstrass pour que cette dernière démonstration soit complète.
En 1799, Gauss pointe un autre défaut des preuves de ces prédecesseurs : ils supposent l'existence de $n$ racines à tout polynôme puis démontrent que ces racines sont des nombres complexes. Il propose alors la première de ses 4 démonstrations, basée sur le schéma de d'Alembert. Sa preuve est encore incomplète, car elle nécessite des arguments topologiques précis et dont Gauss ne disposait pas pour pouvoir conclure. En 1814, Argand propose une autre démonstration : à nouveau, il utilise un théorème qui devra attendre Weierstrass pour être prouvé en toute rigueur : une fonction continue sur un compact à valeurs réelles atteint son minimum.
Un point intéressant de ce théorème est que, si son énoncé semble purement algébrique, toutes ses preuves utilisent des outils d'analyse (théorème des valeurs intermédiaires, compacité, théorie des fonctions holomorphes). Il faut au moins une définition rigoureuse des nombres réels pour pouvoir conclure. Et cela, c'est de l'analyse !