Théorèmes de convergence pour l'intégrale de Lebesgue
Les énoncés suivants sont donnés pour un espace mesuré $(X,B,m)$. Pour des énoncés moins généraux, on pourra considérer que $X=\mathbb R$ ou $X$ est un intervalle, et on pourra enlever les conditions de "presque partout".
Théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo-Lévi)
Théorème : Soit $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de fonctions mesurables sur $X$ à valeurs dans $[0,+\infty]$. On suppose que la suite $(f_n)$ est croissante, c'est-à-dire que, pour tout $x\in X$ et tout $n\in\mathbb N$, $f_n(x)\leq f_{n+1}(x)$. Alors $\lim_{n\to+\infty} f_n$ est mesurable et
$$\lim_{n\to+\infty} \int_X f_n dm= \int_X (\lim_{n\to+\infty} f_n) dm.$$
Théorème de convergence dominée de Lebesgue
Théorème : Soit $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de fonctions mesurables de $X$ dans
$\mathbb C$ et soit $f:X\to\mathbb C$. On suppose
que :
Alors $f$ est intégrable et
$$\int_X |f-f_n|dm\to 0.$$
- pour presque tout $x\in X$, $f_n(x)\to_{n\to+\infty} f(x)$;
- il existe $g:X\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $n\in\mathbb N$ et pour presque tout $x\in X$, $|f_n(x)|\leq g(x)$.
En particulier, $\int_X f_n dm\to \int_X f dm$.
On déduit de ce théorème les corollaires pratiques de continuité et de dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale.
Continuité des intégrales à paramètres : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et $f : I\times X\to\mathbb C$.
On suppose que :
Alors la fonction $t\mapsto \int_X f(t,x)dm(x)$ est continue au point $t_0$.
- Pour presque tout $x$ de $X$, la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est continue au point $t_0\in I$.
- Il existe une fonction $g:X\to\mathbb R_+$ intégrable telle que $|f(t,x)|\leq g(x)$ pour tout $t$ de $I$, pour presque tout $x$ de $X$.
Dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et $f : I\times X\to\mathbb C.$
On suppose que :
Alors la fonction $F:t\mapsto \int_X f(t,x)dm(x)$ est dérivable sur $I$, et sa dérivée est donnée par
$$F'(t)=\int_X \frac {\partial f}{\partial t}(t,x)dm(x).$$
- Pour presque tout $x$ de $X$, la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est dérivable sur $I.$
- Il existe une fonction $g:X\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $t$ de $I$, pour presque tout $x$ de $X$, $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)\right|\leq g(x).$
Lemme de Fatou
Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables sur $X$ à valeurs dans $[0,+\infty].$ Alors
$\liminf_n f_n$ est mesurable et vérifie
$$\int_X \liminf_n f_n dm\leq \liminf_n \int_X f_n dm.$$
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