Fonction convexe conjuguée
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R\cup\{+\infty\}.$ On appelle fonction convexe conjuguée de $f$ la fonction $f^*$ définie sur $\mathbb R^n$ par $$f^*(s)=\sup_{x\in\mathbb R^n}[\langle s,x\rangle-f(x)].$$ La fonction $f^*$ est convexe. L'application $f\mapsto f^*$ est appelée transformée de Legendre-Fenchel.
Exemples :
- $f(x)=ax+b.$ Alors pour tout $s\in\mathbb R,$ \begin{align*} f^*(s)&=\sup_{x\in\mathbb R}(sx-ax+b)\\ &=\sup_{x\in\mathbb R}((s-a)x+b)\\ &=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty&\textrm{ si }s\neq a\\ b&\textrm{ si }s=a. \end{array} \right. \end{align*}
- $f(x)=\frac12x^2$. Alors pour tout $s\in\mathbb R,$ \begin{align*} f^*(s)&=\sup_{x\in\mathbb R}\left(xs-\frac{x^2}2\right)\\ &=\frac{s^2}2. \end{align*}
- $\displaystyle f(x)=\frac1p\left(x_1^p+\cdots+x_n^p\right)$ avec $p>1.$ Alors pour tout $s\in\mathbb R^n,$ $$f^*(s)=\sup_{x\in\mathbb R^n}\left(\sum_{i=1}^n x_i s_i-\frac 1p\left(x_1^p+\cdots+x_n^p\right)\right).$$ Alors en introduisant $$g(x)=\sum_{i=1}^n x_i s_i-\frac 1p\left(x_1^p+\cdots+x_n^p\right),$$ on remarque que $$\frac{\partial g}{\partial x_i}(x)=s_i-x_i^{p-1},$$ de sorte que le seul point critique est en $x\in\mathbb R^n$ tel que, pour tout $i=1,\dots,n,$ $$x_i=s_i^{\frac1{p-1}}.$$ On en déduit que \begin{align*} f^*(s)&=\sum_{i=1}^n s_i^{1+\frac{1}{p-1}}\left(1-\frac 1p\right)\\ &=\frac 1q\sum_{i=1}^n s_i^q \end{align*} où $q$ est l'exposant conjugué de $p,$ $\frac 1p+\frac 1q=1.$
La fonction $f^{**}=(f^*)^*$ s'appelle la biconjuguée de $f.$ Elle vérifie la propriété suivante :
Théorème :
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R\cup\{+\infty\}.$ Alors $f^{**}$ est la plus grande fonction convexe fermée inférieure ou égale à $f,$
c'est-à-dire la fonction dont l'épigraphe est l'enveloppe convexe fermée de l'épigraphe de $f$.
Rappelons qu'une fonction convexe est fermée lorsque son épigraphe est convexe.
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